APMO 1991

Vraag 1 Opgelost!

Zij $G$ het middepunt van driehoek $ABC$ en $M$ het midden van $BC$. Zij $X$ een punt op $AB$ en $Y$ een punt op $AC$, zodat de punten $X,Y,G$ collineair zijn en $XY$ en $BC$ parallel. Veronderstel dat $XC$ en $GB$ snijden in $Q$ en $YB$ en $GC$ in $P$. Toon aan dat $MPQ$ gelijkvormig is met $ABC$.

Vraag 2

Er zijn 997 verschillende punten gegeven in het vlak. Als elke twee punten verbonden zijn door een lijnstuk, en het middenpunt van ieder lijnstuk is rood gekleurd, toon dan aan dat er minimum 1991 rode punten zijn. In welk speciaal geval zijn er precies 1991?

Vraag 3 Opgelost!

Zij $a_1,a_2,...,a_n$ en $b_1,b_2,...,b_n$ positieve reële getallen zodat $\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^n b_i}$. Toon aan dat
$$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_n +b_n}\geq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}2.$$

Vraag 4

Tijdens de speeltijd zitten $n$ kinderen in een cirkel rond de leraar om een spelletje te spelen. De leraar loopt rond de kring in klokwijzerzin en geeft snoepjes aan hen volgens de volgende regels. Hij selecteert één kind en geeft hem een snoepje, daarna slaat hij het volgende kind over en geeft ook een snoepje aan het volgende kind, daarna slaat hij 2 kinderen over en geeft de volgende een snoepje, daarna 3, etc. Bepaal alle waarden van $n$ waarvoor uiteindelijk, desnoods na vele ronden, alle kinderen minimum één snoepje zullen hebben.

Vraag 5

Gegeven zijn twee rakende cirkels en een punt $P$ op hun gemeenschappelijke raaklijn zodat de rechten die $P$ verbindt met de middelpunten loodrecht op elkaar staan. Construeer met een liniaal en een passer alle cirkels die rakend zijn aan deze cirkels en door het punt $P$ gaan.