middelpunt van een driehoek
Opgave - APMO 1991 vraag 1
Zij $G$ het middepunt van driehoek $ABC$ en $M$ het midden van $BC$. Zij $X$ een punt op $AB$ en $Y$ een punt op $AC$, zodat de punten $X,Y,G$ collineair zijn en $XY$ en $BC$ parallel. Veronderstel dat $XC$ en $GB$ snijden in $Q$ en $YB$ en $GC$ in $P$. Toon aan dat $MPQ$ gelijkvormig is met $ABC$.
- login om te reageren
Oplossing
Dit is verrassend gemakkelijk. Met Ceva zien we onmiddellijk dat $AM$, $BY$ en $CX$ concurrent zijn in een punt $T$. Omdat $G$ het zwaartepunt is, is $AG GM = 2 1$, en wegens gelijkvormige driehoeken is dan $GT TM = XY BC = 2 3$, zodat $AT TM = 4 1$. Beschouw dus de homothetie $\mathcal{H}$ met centrum $T$ en factor $-1/4$, dan is $\mathcal{H}(A) = M$. We bewijzen nu dat $\mathcal{H}(B) = Q$. Analoog volgt dan dat $\mathcal{H}(C) = P$, en dan zijn we klaar, omdat het beeld van een driehoek onder een homothetie een gelijkvormige driehoek is. Welnu, er geldt dat $BT TY =BM GY = BC XY = 3 2$, en $YQ BQ = YG BC = 1 3$. Daaruit volgt dat $TQ BT = 3/20 3/5 = 1 4$, en we zijn klaar.