ongelijkheid
Opgave - APMO 1991 vraag 3
Zij $a_1,a_2,...,a_n$ en $b_1,b_2,...,b_n$ positieve reële getallen zodat $\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^n b_i}$. Toon aan dat
$$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_n +b_n}\geq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}2.$$
- login om te reageren
Oplossing
Dit is een veralgemening van http://www.problem-solving.be/ps/viewtopic.php?t=380
Oplossing is identiek, namelijk triviaal door Cauchy in Engel form: (schrijf $S = \sum a_i = \sum b_i$)
$$\sum \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \geq \frac{\left(\sum a_i\right)^2}{\sum (a_i+b_i)} = \frac{S^2}{\sum a_i + \sum b_i} = \frac{S^2}{S+S} = \frac{S}{2} = \frac{\sum a_i}{2}.$$