ongelijkheid

Tags:

APMO
Algebra & analyse
ongelijkheid

Opgave - APMO 1991 vraag 3

Zij $a_1,a_2,...,a_n$ en $b_1,b_2,...,b_n$ positieve reële getallen zodat $\displaystyle{\sum_{i=1}^n a_i=\sum_{i=1}^n b_i}$ . Toon aan dat

$\frac{a_1^2}{a_1+b_1}+\frac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots+\frac{a_n^2}{a_n +b_n}\geq\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}2.$

Oplossing inzenden

Oplossing

Ingediend door C|Debry

Dit is een veralgemening van http://www.problem-solving.be/ps/viewtopic.php?t=380

Oplossing is identiek, namelijk triviaal door Cauchy in Engel form: (schrijf $S = \sum a_i = \sum b_i$ )

$\sum \frac{a_i^2}{a_i+b_i} \geq \frac{\left(\sum a_i\right)^2}{\sum (a_i+b_i)} = \frac{S^2}{\sum a_i + \sum b_i} = \frac{S^2}{S+S} = \frac{S}{2} = \frac{\sum a_i}{2}.$

Nederlandstalig olympiadeproject

ongelijkheid

Opgave - APMO 1991 vraag 3

Oplossing

Zoeken

Random generator

Niveau