USAMO 1998
Vraag 1
Veronderstel dat de verzameling $\{1,2,\ldots,1998\}$ onderverdeeld werd in disjuncte koppels $\{a_1,b_1\},\{a_2,b_2\},\ldots,\{a_{999},b_{999}\}$ zodat voor alle $i$ geldt dat $|a_i-b_i|=1$ of $|a_i-b_i|=6$. Bewijs dat de som
$$|a_i-b_i|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_{999}-b_{999}|$$
eindigt op het cijfer 9.
Vraag 2
Zij $\mathcal C_1$ en $\mathcal C_2$ concentrische cirkels met $\mathcal C_2$ binnen $\mathcal C_1$. Van een punt $A$ op $\mathcal C_1$ tekenen we een raaklijn $AB$ aan $\mathcal C_2$, met $B\in\mathcal C_2$. Stel $C$ het tweede snijpunt van $AB$ met $\mathcal C_1$ en $D$ het midden van $AB$. Een rechte door $A$ snijdt $\mathcal C_2$ in $E$ en $F$ zodat de middelloodlijnen van $DE$ en $CF$ in een punt $M$ op $AB$ snijden. Vind, met bewijs, de verhouding $\frac{|AM|}{|MC|}$.
Vraag 3
Zij $0
$$\tan a_0\tan a_1\cdots\tan a_n\geq n^{n+1}.$$
Vraag 4
Een computerscherm toont een $98\times98$ schaakbord, zwart-wit gekleurd op de klassieke manier. Men kan met de muis een rechthoek selecteren langs de lijnen van het schaakbord en dan op de muis klikken: dit zal resulteren in het veranderen van alle kleuren van het geselecteerde stuk (zwart wordt wit en wit wordt zwart). Vind, met bewijs, het minimum aantal muisklikken die nodig zijn om het schaakbord volledig om te zetten naar één kleur.
Vraag 5 Opgelost!
Bewijs dat we voor ieder natuurlijk getal $n\geq2$, er een verzameling $S$ van $n$ gehele getallen bestaat zodat $(a-b)^2|ab$ voor iedere verschillende $a,b\in S$.
Vraag 6
Zij $n\geq5$ een natuurlijk getal. Vind het grootste natuurlijk getal $k$ (in functie van $n$) zodat er een convexe $n$-hoek $A_1A_2\ldots A_n$ bestaat waarvoor er precies $k$ van de vierhoeken $A_iA_{i+1}A_{i+2}A_{i+3}$ een ingeschreven cirkel hebben (hier is $A_{n+j}=A_j$).
