USAMO 1988

Vraag 1

Het repeterend getal $0,a_1a_2\ldots a_r \overline{b_1b_2\ldots b_s}=\frac mn$, met $m$ en $n$ onderling ondeelbare natuurlijke getallen, kan niet geschreven worden op zodanige wijze dat $r=0$. Toon aan dat $n$ deelbaar is door 2 of door 5 (of door beide).

Vraag 2 Opgelost!

De derdegraadsveelterm $x^3+ax^2+bx+c$ heeft reële coëfficiënten en drie reële wortels $r\ge s\ge t$. Toon aan dat $a^2\ge3b$ en $\sqrt{a^2-3b}\le r-t$.

Vraag 3

Zij $X=\{1,2,\ldots,20\}$ en $P$ de verzameling van alle deelverzamelingen van $9$ elementen van $X$. Toon aan dat we voor iedere afbeelding $f P\rightarrow X$ een deelverzameling $Y\subset X$ van $10$ elementen kunnen vinden zodat $f(Y\setminus\{k\})\neq k$ voor alle $k\in Y$.

Vraag 4

Zij $I$ het middelpunt van de ingeschreven cirkel van $\triangle ABC$. Toon aan dat de middelpunten van de omgeschreven cirkels van $\triangle IAB,\triangle IBC,\triangle ICA$ op een cirkel liggen met als middelpunt het midden van de omgeschreven cirkel van $\triangle ABC$.

Vraag 5

Zij $p(x)$ de veelterm $(1-x)^{a_1}(1-x^2)^{a_2}(1-x^3)^{a_3}\ldots (1-x^{32})^{a_{32}}$, met $a_1,\ldots,a_{32}\in\mathbb{Z}$. Wanneer je de veelterm uitwerkt, is de coëfficiënt van $x$ gelijk aan -2 en de coëfficiënten van $x^2,x^3,\ldots,x^{32}$ zijn allemaal 0. Vind $a_{32}$.