derdegraadsveelterm
Opgave - USAMO 1988 vraag 2
De derdegraadsveelterm $x^3+ax^2+bx+c$ heeft reële coëfficiënten en drie reële wortels $r\ge s\ge t$. Toon aan dat $a^2\ge3b$ en $\sqrt{a^2-3b}\le r-t$.
- login om te reageren
Olympia
Nederlandstalig olympiadeproject
Zoeken
Random generator
Niveau
Wie is online
Er zijn momenteel 0 gebruikers en 1 gast online.
Oplossing
Omdat $r+s+t = -a$ en $rs+st+tr = b$, is $a^2\geq 3b$ equivalent met $(r-s)^2+(s-t)^2+(t-r)^2 \geq 0$ en is $\sqrt{a^2-3b}\leq r-t$ equivalent met $(r-s)(s-t)\geq 0$.