USAMO 1972

Vraag 1 Opgelost!

Toon aan dat voor eender welke drie natuurlijke getallen $a,b,c$ geldt dat
$$\\\text{ggd}(a,b,c)^2\cdot \text{kgv}(a,b)\cdot \text{kgv}(b,c)\cdot \text{kgv} (c,a)\\=\text{kgv}(a,b,c)^2\cdot \text{ggd}(a,b)\cdot \text{ggd}(b,c)\cdot \text{ggd}(c,a).$$

Vraag 2 Opgelost!

Elke 2 tegenoverliggende zijden van een viervlak zijn even lang. Toon aan dat al zijn vlakken scherphoekig zijn.

Vraag 3 Opgelost!

$n$ cijfers, waaronder geen enkele gelijk aan 0, worden willekeurig (en onafhankelijk) gegenereerd. Vind de kans dat hun product deelbaar is door 10.

Vraag 4

Vind natuurlijke getallen $A,B,C,a,b,c$ zodat
$$\left|\frac{Ax^2+Bx+C}{ax^2+bx+c}-\sqrt[3]2\right|<|x-\sqrt[3]2|$$
voor alle postieve rationale $x$.

Vraag 5

Een vijfhoek wordt zodanig geconstrueerd dat alle driehoeken gevormd door drie naburige hoekpunten van de vijfhoek oppervlakte 1 hebben. Vind de oppervlakte van de vijfhoek, maar toon aan dat er oneindig veel niet-congruente vijfhoeken bestaan met deze eigenschap.