viervlak

In dat geval zijn de vier zijvlakken congruente driehoeken. Stel dat er dus ergens een stompe hoek is in een zijvlak, dan komt die in viervoud voor. Beschouw nu de vier ribbes waartussen deze vier gelijke stompe hoeken staan, en gelijk welke evenwijdige projectie ervan op een vlak waarin de projecties van die ribben elkaar niet snijden tussen de hoekpunten (bijvoorbeeld een projectie evenwijdig aan de verbindingslijn van de middens van de twee overige ribben).

Door evenwijdig te projecteren kan geen enkele van deze vier gelijke hoeken kleiner worden. Toch waren ze allemaal al groter dan 90°, in projectie dus ook, en is hun som groter dan 360°. Maar de projectie is een vlakke vierhoek en daarin moet de som van de hoeken gelijk zijn aan 360°. Contradictie.

Opmerking: neem een driehoek als het vlak waarop we projecteren, aangezien de driehoek tegenover de grootste hoek zijn langste zijde op het grondvlak heeft en de andere $2$ zijden niet, zullen bij de projectie die $2$ zijden kleiner worden en de grootste zijde gelijk, waardoor de hoek strikt vergroot is, dit toont aan dat de vraag ook niet zou gelden voor rechte hoeken.

****

andere zienswijze om te vervolledigen:
We hebben een driehoek $\triangle ABC$ met $c^2 \ge a^2+b^2$ en roteren de gespiegelde driehoek ( de driehoek eerst spiegelen tov de middelloodlijn van $ [AB]$) tov zijn as $AB.$

Dan geldt voor een driehoek $ABC'$ dat $|CC'|$ maximaal is indien $ABC'$ in hetzelfde vlak ligt van $ABC$ maar aan de andere kant van $AB$ zodat in dat geval $CC'=2\cdot m_c=\sqrt{ 2(b^2+a^2)-c^2}\le c$ met gelijkheid bij de rechthoekige driehoek, maar dan is ons viervlak een vlakke figuur wat niet gewenst was.