ggd en kgv
Opgave - USAMO 1972 vraag 1
Toon aan dat voor eender welke drie natuurlijke getallen $a,b,c$ geldt dat
$$\\\text{ggd}(a,b,c)^2\cdot \text{kgv}(a,b)\cdot \text{kgv}(b,c)\cdot \text{kgv} (c,a)\\=\text{kgv}(a,b,c)^2\cdot \text{ggd}(a,b)\cdot \text{ggd}(b,c)\cdot \text{ggd}(c,a).$$
- login om te reageren
Oplossing
Stel $p$ is een priemgetal met $v_p(a)=x,v_p(b)=y,v_p(c)=z$. We kunnen zonder verlies van algemeenheid stellen dat $x\leq y\leq z$. ( de 5 permutaties geven analoog resultaat)
Dan komt $p$ in het linkerlid $2\min(x,y,z)+\max(x,y)+\max(y,z)+\max(z,x)$ keer voor, dat is $2x+y+z+z$.
In het rechterlid komt $p$ $2\max(x,y,z)+\min(x,y)+\min(y,z)+\min(z,x)$ keer voor, dat is $2z+x+y+x$.
Dit betekent dat $v_p(LL)=v_p(RL)$ voor ieder priemgetal $p$.
Dus $p$ komt links en rechts evenveel voor, aangezien dat geldt voor ieder priemgetal $p$,
geldt dat de priemfactorontbinding van het LL en RL gelijk zijn en dus zijn linker- en rechterlid gelijk.