BrMO 2 2005

Vraag 1 Opgelost!

$N$ is een natuurlijk getal. Er bestaan precies 2005 geordende koppels $(x,y)$ van natuurlijke getallen die voldoen aan
$$\frac1x+\frac1y=\frac1N.$$
Bewijs dat $N$ een volkomen kwadraat is.

Vraag 2

In driehoek $ABC$ is $\angle BAC=120^\circ $. Laat de bissectrices van de hoekpunten $A,B,C$ de tegenoverliggende zijdes snijden in $D,E,F$ respectievelijk. Bewijs dat de cirkel rond diameter $EF$ door $D$ gaat.

Vraag 3 Opgelost!

Zij $a,b,c$ drie positieve reële getallen. Bewijs dat
$$\left(\frac ab+\frac bc+\frac ca\right)^2\geq(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right).$$

Vraag 4

Zij $X=\{A_1,A_2,$...$,A_n\}$ een verzameling van verschillende deelverzameling van drie elementen van $\{1,2,...,36\}$ zodat
(i) $A_i$ en $A_j$ hebben een niet-lege doorsnede voor alle $i,j$.
(ii) De doorsnede van alle elementen van $X$ is de lege verzameling.
Toon aan dat $n\leq100$. Hoeveel zo'n verzamelingen $X$ zijn er als $n=100$?