ongelijkheid

Stel $x=\frac{a}{b}$,$y=\frac{b}{c}$ en $z=\frac{c}{a}$ zodat $xyz=1$. De ongelijkheid is dan in uitgewerkte vorm equivalent met
$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge 3+x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\ge 3+x+y+z$
(merk op dat $xy=\frac{1}{z}$ enzovoort)

Welnu, als we bewijzen dat $xy+yz+zx\ge 3$ en $x^2+y^2+z^2\ge x+y+z$, dan zijn we natuurlijk klaar. De eerste is een rechtstreeks gevolg van AM-GM. Als we de tweede dehomogeniseren, bekomen we $x^2+y^2+z^2\ge x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{1}{3}}z^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{4}{3}}z^{\frac{1}{3}}+x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}z^{\frac{4}{3}}$.

Dit volgt uit het cyclisch optellen van onderstaande ongelijkheid, die we eveneens uit AM-GM verkrijgen:
$\frac{x^2+x^2+x^2+x^2+y^2+z^2}{6}\ge x^{\frac{4}{3}}y^{\frac{1}{3}}z^{\frac{1}{3}}$.
$\square$