diophantische vergelijking

Lemma. Het aantal oplossingen $(x,y)\in\mathbb{N}^2$ van $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{z}$, waarbij $z\in\mathbb{N}$ constant is, is gelijk aan het aantal delers van $z^2$.

Bewijs. De vergelijking is equivalent met $(x-z)(y-z) = z^2$. Uit $\frac{1}{z} = \frac{1}{x}+\frac{1}{y} > \frac{1}{x}$ volgt er dat $x>z$ en natuurlijk ook $y>z$. Bijgevolg zijn $x-z$ en $y-z$ allebei positieve delers van $z^2$, zodat we inderdaad $d(z^2)$ oplossingen hebben.

Back to the problem: het is gegeven dat de vergelijking 2005 oplossingen heeft, dus $d\left(N^2\right)=2005$. Stel $$N=\prod_{p_i | N\ ,\ p_i\in\mathbb{P}} p_i^{\alpha_i},$$ dan moet dus $5\cdot 401 = 2005 = d\left(N^2\right) = (2\alpha_1+1)(2\alpha_2+1)\cdots$. Bijgevolg moet $\left(\alpha_1,\alpha_2\right)=(0,1002)$ of $\left(\alpha_1,\alpha_2\right) = (2,200)$. In beide gevallen is $N$ een volkomen kwadraat.