BrMO 2 2002

Vraag 1

De hoogtelijn uit een van de hoekpunten van de scherphoekige driehoek $ABC$ raakt de tegenoverliggende zijde in $D$. Uit $D$ worden de loodrechten $DE$ en $DF$ getekend op de andere twee zijden. Bewijs dat de lengte van $EF$ gelijk is voor eender welk hoekpunt.

Vraag 2

Een vergaderzaal heeft een ronde tafel met $n$ stoelen en er zijn exact $n$ gedelegeerden op de vergadering. De eerste gedelegeerde kiest zijn of haar zitje willekeurig. Daarna neemt de $(k+1)$e gedelegeerde plaats, $k$ plaatsten aan de rechterkant van de $k$e gedelegeerde, voor $1\leq k\leq n-1$. (Zo zit de tweede gedelegeerde direct rechts van de eerste.) Geen enkele stoel kan meer dan eens bezet zijn.
Vind de alle waarden van $n$ waarvoor dit mogelijk is.

Vraag 3 Opgelost!

Bewijs dat de rij gedefinieerd door
$$\\y_0=1 \\y_{n+1}=\frac12(3y_n+\sqrt{5y_n^2-4}) \ \ (n\geq0)$$
enkel uit gehele getallen bestaat.

Vraag 4

Veronderstel dat $B_1$,...,$B_N$ $N$ sferen voorstellen met straal 1, die zo zijn geplaatst in de ruimte dat iedere sfeer precies twee andere sferen uitwendig raakt. Zij $P$ een punt buiten al deze sferen en noem de $N$ contactpunten $C_1$,...,$C_N$. De lengte van de raaklijn van $P$ tot de sfeer $B_i$ $(1\leq i\leq N)$ wordt genoteerd met $t_i$. Bewijs dat het product van alle $t_i$ niet groter is dan het product van de afstanden $PC_i$.