gehele rij

We bewijzen het per inductie.

(1) (inductiebegin): Voor $n=0$ en $n=1$ is de stelling geldig, want $y_0=1$ en $y_1=2$.

(2) (inductiehypothese): Stel nu dat $y_n$ en $y_{n+1}$ geheel zijn. We zullen bewijzen dat dan noodzakelijk ook $y_{n+2}$ geheel is.

(3) (inductiestap):

(3.1) $5 y_{n+1}^2-4=\frac {70}{4} y_n ^2 +\frac{15}{2} \sqrt{5 y_n^2 -4} -9= (\frac 32 \sqrt{5 y_n ^2 -4} + \frac 52 y_n)^2$

(3.2) $3 y_{n+1}= \frac 92 y_n + \frac 32 \sqrt{5 y_n ^2 -4}$

(3.3) $y_{n+2}=\frac 12 \left(\frac 92 y_n + \frac 32 \sqrt{5 y_n ^2 -4}+\frac 32 \sqrt{5 y_n ^2 -4} + \frac 52 y_n\right)$
$=\frac 12 \left(7 y_n +3 \sqrt{5 y_n ^2 -4}\right)= \frac 92 y_n + \frac 32 \sqrt{5 y_n ^2 -4} -y_n=3 y_{n+1} -y_n$

Klaar vanwege de inductiehypothese dat $y_{n+1}$ en $y_n$ (en dus ook $3 y_{n+1} -y_n$) geheel zijn.