BrMO 2 1998

Vraag 1 Opgelost!

Een reisagentschap aan een spoorweg verkoopt tickets naar 200 bestemmingen. Op een dag werden er aan 3800 passagiers tickets verkocht. Toon aan dat
(i) er (op zijn minst) 6 bestemmingen zijn waar evenveel passagiers aankomen.
(ii) de stelling in (i) onwaar wordt als je 6 vervangt door 7.

Vraag 2

Een driehoek $ABC$ heeft $\angle BAC>\angle BCA$. Een rechte $AP$ wordt getekend zodat $\angle PAC=\angle BCA$ en $P$ binnen de driehoek ligt. Een punt $Q$ buiten de driehoek wordt geconstrueerd zodat $PQ$ parallel loopt met $AB$ en $BQ$ parallel met $AC$. $R$ is het punt op $BC$ (gescheiden van $Q$ door de rechte $AP$) zodat $\angle PRQ=\angle BCA$.
Bewijs dat de omgeschreven cirkel van $ABC$ de omgeschreven cirkel van $PQR$ raakt.

Vraag 3

Veronderstel dat $x,y,z$ drie natuurlijke getallen zijn die voldoen aan de vergelijking
$$\frac1x-\frac1y=\frac1z,$$
en stel $h$ gelijk aan de grootste gemeenschappelijke deler van $x,y,z$.
Bewijs dat $hxyz$ een volkomen kwadraat is.
Bewijs ook dat $h(y-x)$ een volkomen kwadraat is.

Vraag 4

Vind een oplossing van volgend stelsel van vergelijkingen
$$xy+yz+zx=12$$
$$xyz=2+x+y+z$$
en $x,y,z$ alledrie positief, en bewijs dat het de enige dergelijke oplossing is.
Toon ook dat er een oplossing bestaat wanneer $x,y,z$ reëel en verschillend zijn.