BrMO 1 2007

Vraag 1 Opgelost!

Vind vier priemen $p<100$ die delers zijn van $3^{32}-2^{32}$.

Vraag 2

In de convexe vierhoek $ABCD$ liggen $M,N\in]AB[$ zodanig dat $|AM|=|MN|=|NB|$, en $P,Q\in]CD[$ zodanig dat $|CP|=|PQ|=|QD|$. Toon aan dat $\text{Opp}(AMCP)=\text{Opp}(MNQP)=\frac13\text{Opp}(ABCD)$.

Vraag 3

Hoeveel getallen van negen cijfers zijn er waarin de cijfers $1,2,\ldots,9$ elk één keer voorkomen, en waarin de cijfers $1,...,5$ wel in hun natuurlijke volgorde staan, maar $1,...,6$ niet (bijvoorbeeld $916238457$)?

Vraag 4

Twee rakende cirkels $S,T$ delen daarnaast nog een raaklijn die $S$ raakt in $A$ en $T$ raakt in $B$. Als $AP$ de diameter van $S$ is, zij dan $Q$ het punt waar de raaklijn vanuit $P$ aan $T$ raakt. Toon aan dat $AP=PQ$.

Vraag 5 Opgelost!

Zij $a,b,c>0$. Bewijs dat $(a^2+b^2)^2\ge(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$.

Vraag 6 Opgelost!

Zij $n\in\mathbb{Z}$. Als $2+2\sqrt{1+12n^2}$ een geheel getal is, bewijs dan dat het een volkomen kwadraat is.