volkomen kwadraat

Stel $\sqrt{1+12n^2}=a$. We willen dat $2a+2$ een kwadraat is.
$1+12n^2=a^2$ dus $a\equiv1\pmod6$ of $a\equiv-1\pmod6$.
Stel eerst $a=6k-1$, dan is $n^2=k(3k-1)$. $ggd(k,3k-1)=1$ dus $3k-1$ is een kwadraat. Maar een kwadraat kan niet congruent zijn met $-1$ modulo $3$.
Dus $a=6k+1$ zodat $n^2=k(3k+1)$. Ook hier moet $3k+1$ een kwadraat zijn, dus ook $2a+2=12k+4=4(3k+1)$ is een volkomen kwadraat.