priemen

Opgave - BrMO 1 2007 vraag 1

Vind vier priemen $p<100$ die delers zijn van $3^{32}-2^{32}$.

Oplossing

als we $3^{32}-2^{32}$ ontbinden in factoren met de formule $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$, dan bekomen we dat
$3^{32}-2^{32}=(3^{16}+2^{16})(3^8+2^8)(3^4+2^4)(3^2+2^2)(3+2)(3-2)$
hieruit kunnen we snel afleiden dat de volgende priemgetallen delers zijn:
$3+2=5$
$3^2+2^2=13$
$3^4+2^4=97$
Aangezien we ook maar kunnen ontbinden tot
$3^{32}-2^{32}=(3^{16}+2^{16})(3^{16}-2^{16})$
en omdat volgens de kleine stelling van fermat
$3^{16}\equiv{1}\mod{17}$
$2^{16}\equiv{1}\mod{17}$
besluiten we dat 17 ook een deler is.
deze vier priemen zijn dus $[5,13,17,97]$