BrMO 1 2001

Vraag 1 Opgelost!

Vind alle natuurlijke getallen $N$ van 2 cijfers waarvoor de som van de cijfers van $10^N-N$ deelbaar is door 170.

Vraag 2 Opgelost!

Cirkel $S$ ligt in cirkel $T$ en raakt die in het punt $A$. Uit een punt $P$ op $T$ (verschillend van $A$) worden de koorden $PQ$ en $PR$ van $T$ getekend die $S$ raken in respectievelijk $X$ en $Y$. Toon aan dat $\angle QAR=2\angle XAY$.

Vraag 3 Opgelost!

Een tetromino is een figuur die gemaakt wordt uit vier eenheidsvierkanten die verbonden zijn door een gemeenschappelijke zijde.
(i) Als we geen onderscheid maken tussen de mogelijke rotaties binnen zijn vlak, toon dan aan dat er precies zeven verschillende tetromino's zijn.
(ii) Bewijs of ontkracht de stelling: Het is mogelijk om alle zeven verschillende tetromino's op een 4x7 rechthoek te plaatsen zonder overlapping.

Vraag 4

Definieer de rij $(a_n)$ door $a_n=n+\{\sqrt n\}$, met $n$ een natuurlijk getal en $\{x\}$ als notatie voor het natuurlijk getal dichtst bij $x$, met halfjes afgerond naar boven indien nodig. Bepaal het kleinste natuurlijk getal $k$ zodat de termen $$a_k,a_{k+1},...,a_{k+2000}$$ een rij vormen van 2001 opeenvolgende getallen.

Vraag 5

Een driehoek heeft zijden met lengte $a,b,c$ en de omgeschreven cirkel heeft straal $R$. Bewijs dat de driehoek rechthoekig is als en slechts als $a^2+b^2+c^2=8R^2$.