som der cijfers

$10^N - N$ zal met $N-2$ negens beginnen.
De cijfersom zal dus bestaan uit $N-2$ negens en twee andere getallen, waarvan de som gelijk moet zijn aan k*170 (mod 9) .
We kunnen als som alleen de eerste vijf veelvouden van 170 vormen (170, 340, 510, 680, 850), alle getallen daarboven zijn niet vormbaar door 97 negens. ($10^{99}-99$)

$10^N-N\equiv 1-N \pmod 9$ , voor de juiste rest modulo 9 te bekomen, zal N op een 9voud bepaald zijn, voor ieder 170 voud zal er dan maximaal 1 oplossing voldoen ( de laatste twee cijfers kunnen geen verschil dat een 81 voud is overbruggen)

170: 170 = 18*9 + 8. N moet 20 zijn. 20 voldoet: 100-20 = 80 met cijfersom 8.
$N^{20}-20$ geeft dus $18*9+8+0=170$.

340: 340=2(18*9+8)=36*9+16=37*9+7.
N moet 39 zijn. 100-39 = 61 met cijfersom 7.
$N^{39}-39$ geeft dus $37*9+7 = 340$.

510: 510 = 3(18*9+8) = 54*9+24 = 56*9 + 6.
N moet 58 zijn. 100-58 = 42 met cijfersom 6.
$100^{58}-58$ geeft $56*9 + 4 + 2 = 510$.

680: 4(18*9+8) = 72*9+32 = 75*9+5.
N moet 77 zijn: 100-77 = 23 met cijfersom 5.
$N^{77}-77$ geeft $75*9 + 2 + 3 = 680$.

850: 5(18*9+8) = 90*9 + 40 = 94*9+4.
N moet 96 zijn: 100-96 = 4.
$N^{96}-96$ geeft $94*9 + 4 + 0 = 850$.

Alle getallen die voldoen zijn dus $20, 39, 58, 77, 96$.