hoeken

Opgave - BrMO 1 2001 vraag 2

Cirkel $S$ ligt in cirkel $T$ en raakt die in het punt $A$. Uit een punt $P$ op $T$ (verschillend van $A$) worden de koorden $PQ$ en $PR$ van $T$ getekend die $S$ raken in respectievelijk $X$ en $Y$. Toon aan dat $\angle QAR=2\angle XAY$.

Oplossing

PQAR is een koordenvierhoek, dus $\angle QAR = 180^{\circ} - \angle QPR$. Zij $O$ het middelpunt van $S$. Dan is $OX\bot PX$ en $OY\bot PY$ (want $PX$ en $PY$ raken aan $S$). Bijgevolg is $\angle QAR = 180^{\circ} - \angle QPR = \angle XOY$, en we werken af met $\angle XOY = 2\angle XAY$. (Hoeken op boog $XY$.)