BrMO 1 2000

Vraag 1 Opgelost!

Twee snijdende cirkel $C_1$ en $C_2$ hebben een gemeenschappelijke raaklijn die $C_1$ in $P$ raakt en $C_2$ in $Q$. De twee cirkels snijden in $M$ en $N$, waar $N$ dichter bij $PQ$ ligt dan $M$. De rechte $PN$ snijdt de cirkel $C_2$ opnieuw in $R$. Bewijs dat $MQ$ de hoek $PMR$ doormidden snijdt.

Vraag 2 Opgelost!

Toon aan dat voor ieder natuurlijk getal $n$,
$$121^n-25^n+1900^n-(-4)^n$$
deelbaar is door 2000.

Vraag 3 Opgelost!

De driehoek $ABC$ heeft een rechte hoek in $A$. Vind van alle punten $P$ op de omtrek van de driehoek, de positie van $P$ zodat
$$AP+BP+CP$$
geminimaliseerd is.

Vraag 4

Definieer voor ieder natuurlijk getal $k>1$ de rij $\{a_n\}$ door
$$a_0=1\text{ en }a_n=kn+(-1)^na_{n-1}\text{ voor alle }n\geq1.$$
Bepaal alle waarden van $k$ waarvoor 2000 een term is van de rij.

Vraag 5

De zeven dwergen besluiten om vier teams te vormen om mee te doen in de Millenium Quiz. Natuurlijk zullen de grootte van de teams niet allemaal gelijk zijn. Bijvoorbeeld, een team kan bestaan uit alleen Doc, een ander uit enkel Dopey, een uit Sleepy, Happy en Grumpy, en het vierde uit Bashful en Sneezy. Op hoeveel manieren kunnen ze zo vier teams vormen? (De volgorde van de teams alsook de volgorde van de dwergen binnen de teams doet er niet toe.)
Veronderstel dat Sneeuwwitje ook beslist mee te doen. Op hoeveel manieren kunnen ze dan vier teams vormen?