bissectrice
Opgave - BrMO 1 2000 vraag 1
Twee snijdende cirkel $C_1$ en $C_2$ hebben een gemeenschappelijke raaklijn die $C_1$ in $P$ raakt en $C_2$ in $Q$. De twee cirkels snijden in $M$ en $N$, waar $N$ dichter bij $PQ$ ligt dan $M$. De rechte $PN$ snijdt de cirkel $C_2$ opnieuw in $R$. Bewijs dat $MQ$ de hoek $PMR$ doormidden snijdt.
- login om te reageren
Oplossing
Noem QMR $x$. Dan is QNR ook gelijk aan $x$ (zelfde boog). $PNQ=180-x$, dus $NQP+QPN=x$.
Aangezien $PQ$ een raaklijn is aan $C_1$ geldt er dat $NPQ=NMP$. Er geldt ook dat $NQP=NMQ$ omdat $PQ$ een raaklijn is aan $C_2$.
$PMQ=NMP+NMQ=NPQ+NQP=x$, dus: $PMQ=QMR$ en $MQ$ snijdt $PMR$ doormidden.