Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Verenigd Koninkrijk › BrMO 1 › 2000 › minimaliseren

minimaliseren

Tags:

Opgave - BrMO 1 2000 vraag 3

De driehoek $ABC$ heeft een rechte hoek in $A$. Vind van alle punten $P$ op de omtrek van de driehoek, de positie van $P$ zodat

$$AP+BP+CP$$

geminimaliseerd is.

Oplossing

Ingediend door Psycho

Als $P$ op $AB$ of $AC$ ligt is het duidelijk dat het minimum van beide gevallen voorkomt als $A=P$. Stel $AB=x$ en $AC=y$, dan is ons voorlopig minimum $x+y$.
Als $P$ op $BC$ ligt wordt het minimum bereikt wanneer $AP\bot BC$ en $AP$ dus een hoogtelijn is. De schuine zijde heeft lengte $\sqrt{x^2+y^2}$ en de hoogte $\displaystyle{\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$.
De ongelijkheid

$$x+y\leq\sqrt{x^2+y^2}+\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

kan echter via gewoon uitwerken herleid worden tot

$$0\leq x^2y^2$$

waaruit volgt dat $P=A$.