BrMO 1 1999

Vraag 1 Opgelost!

Ik heb vier kinderen. De leeftijden van mijn kinderen zijn allemaal natuurlijke getallen van 2 tot en met 16, en ze zijn allemaal verschillend. Een jaar geleden was het kwadraat van de leeftijd van mijn oudste kind gelijk aan de som van de kwadraten van de leeftijden van de andere drie kinderen. Volgend jaar zal de som van het kwadraat van de leeftijd van het oudste kind en het kwadraat van de leeftijd van het jongste kind gelijk zijn aan de som van de kwadraten van de leeftijden van de twee andere kinderen.
Beslis of deze informatie voldoende is om hun leeftijden uniek te bepalen, en geef alle mogelijkheden voor hun leeftijden.

Vraag 2

Een cirkel heeft diameter $AB$ en $X$ is een vast punt op de rechte $AB$ tussen $A$ en $B$. Een punt $P$, verschillend van $A$ en $B$, ligt op de omtrek van de cirkel. Bewijs dat voor alle mogelijke posities van $P$,
$$\frac{\tan\angle APX}{\tan\angle PAX}$$
constant blijft.

Vraag 3 Opgelost!

Bepaal een positieve constante $c$ zodat de vergelijking
$$xy^2-y^2-x+y=c$$
precies drie oplossingen heeft $(x,y)$ in natuurlijke getallen.

Vraag 4

Elk natuurlijk getal $m$ kan op een unieke manier in basis 3 geschreven worden als een rij van 0'en, 1'en en 2'en (niet met een 0 beginnend). Bijvoorbeeld,
$$98=(1\cdot81)+(0\cdot27)+(1\cdot9)+(2\cdot3)+(2\cdot1)=(10122)_3.$$
Stel $c(m)$ gelijk aan de som van de derdemachten van de cijfers van $m$ in basis 3; dus bijvoorbeeld
$$c(98)=1^3+0^3+1^3+2^3+2^3=18.$$
Zij $n$ een vast natuurlijk getal en definiëren we de rij $(u_r)$ met
$$u_1=n\text{ en }u_r=c(u_{r-1})\text{ voor }r\geq2.$$
Toon aan dat er een natuurlijk getal $r$ bestaat zodat $u_r=1,2$ of $17$.

Vraag 5

Beschouw alle functies $f$ van de natuurlijke getallen naar de natuurlijke getallen zodat
(i) er voor ieder natuurlijk getal $m$ er een uniek natuurlijk getal $n$ bestaat zodat $f(n)=m$;
(ii) voor ieder natuurlijk getal $n$, $f(n+1)$ ofwel $4f(n)-1$ ofwel $f(n)-1$ is.
Vind de verzameling van natuurlijke getallen $p$ zodat $f(1999)=p$ voor een functie $f$ met eigenschappen (i) en (ii).