diophantische vergelijking

Opgave - BrMO 1 1999 vraag 3

Bepaal een positieve constante $c$ zodat de vergelijking
$$xy^2-y^2-x+y=c$$
precies drie oplossingen heeft $(x,y)$ in natuurlijke getallen.

Oplossing

Ontbinden in factoren geeft $(y-1)((x-1)(y+1)+1)=c$. Laat $y-1=1$ een oplossing zijn, zodat $y=2$ en invullen geeft dat $3(x-1)+1=3x-2=c$ zodat $c\equiv 1\pmod3$. $4$ lukt niet, $7$ is een priemgetal en kan dus niet ontbonden worden, maar $10$ lukt wel. $10=1\cdot 10$ geeft de oplossing $(4,2)$ voor $(x,y)$, $10=2\cdot 5$ geeft $(2,3)$ als oplossing, $10=5\cdot 2$ heeft geen oplossingen en $10=10\cdot 1$ geeft $(1,11)$ als oplossing. Aangezien $10$ enkel op deze $4$ manieren ontbonden kan worden zijn deze drie oplossingen ook meteen de enige.
$\square$