BrMO 1 1994

Vraag 1 Opgelost!

Startend met eender welk natuurlijk getal $n$ van drie cijfers (zoals bijvoorbeeld $n=625$) bekomen we een nieuw getal $f(n)$ die de som is van de drie cijfers van $n$, de drie paarsgewijze producten van twee van de drie cijfers, en het product van alle drie de cijfers.
(i) Vind de waarde van $n/f(n)$ als $n=625$. (Het antwoord is een geheel getal!)
(ii) Vind alle $n$ bestaande uit drie cijfers zodat de verhouding $n/f(n)=1$.

Vraag 2

In de driehoek $ABC$ ligt $X$ op $BC$.
(i) Veronderstel dat $\angle BAC=90^\circ $, dat $X$ het midden is van $BC$, en dat $\angle BAX$ 1/3 is van $\angle BAC$. Wat kan je dan zeggen (en bewijzen!) over de driehoek $ACX$?
(ii) Veronderstel dat $\angle BAC=60^\circ $, dat $X$ op 1/3 van de afstand van $B$ tot $C$ ligt en $AX$ $\angle BAC$ bissecteert. Wat kan je dan zeggen (en bewijzen!) over driehoek $ACX$?

Vraag 3

De rij van gehele getallen $u_0,u_1,u_2,u_3,\cdots$ voldoet aan $u_0=1$ en
$$u_{n+1}u_{n-1}=ku_n\ \ (n\geq 1)$$
met $k$ een bepaald natuurlijk getal. Als $u_{2000}=2000$, bepaal dan alle mogelijke waarden van $k$.

Vraag 4

De punten $Q,R$ liggen op de cirkel $\gamma$, en $P$ is een punt zodat $PQ, PR$ raken aan $\gamma$. $A$ is een punt op het verlengde van $PQ$, en $\gamma '$ is de omgeschreven cirkel van de driehoek $PAR$. De cirkel $\gamma '$ snijdt $\gamma$ opnieuw in $B$ en $AR$ snijdt $\gamma$ in het punt $C$. Bewijs dat $\angle PAR=\angle ABC$.

Vraag 5 Opgelost!

Een stijgende rij van gehele getallen wordt alternerend genoemd als ze start met een oneven term, de tweede term is even, de derde oneven, de vierde even, etc. De lege rij (met geen enkele term dus) wordt ook als alternerend beschouwd. Zij $A(n)$ het aantal alternerende rijen die enkel betrekking hebben op de verzameling $\{1,2,3,\cdots,n\}$. Toon aan dat $A(1)=2$ en $A(2)=3$. Vind ook de waarde van $A(20)$.