cijfersomproduct
Opgave - BrMO 1 1994 vraag 1
Startend met eender welk natuurlijk getal $n$ van drie cijfers (zoals bijvoorbeeld $n=625$) bekomen we een nieuw getal $f(n)$ die de som is van de drie cijfers van $n$, de drie paarsgewijze producten van twee van de drie cijfers, en het product van alle drie de cijfers.
(i) Vind de waarde van $n/f(n)$ als $n=625$. (Het antwoord is een geheel getal!)
(ii) Vind alle $n$ bestaande uit drie cijfers zodat de verhouding $n/f(n)=1$.
- login om te reageren
Oplossing
Stel $n=\overline{xyz}$. Dan geldt dat $f(n)=x+y+z+xy+yz+zx+xyz=(x+1)(y+1)(z+1)-1$
i) $\frac{625}{f(625)}=\frac{625}{(7\cdot 3\cdot 6)-1}=\frac{625}{125}=5$
ii) Er moet gelden dat $n=f(n)$
$\Leftrightarrow 100x+10y+z=x+y+z+xy+yz+xz+xyz$
$\Leftrightarrow 99x+9y=xy+yz+xz+xyz$
$\Leftrightarrow x99-x(y+z+yz)=yz-9y$
$\Leftrightarrow x(99-y-z-yz)=y(z-9)$
Stel dat $y\neq 9\neq z$. Dan is $LL$ altijd positief en $RL$ altijd negatief, contradictie.
Dus moet $y=z=9$. De vergelijking wordt dan
$x(99-9-9-81)=9(9-9)$
$\Leftrightarrow 0=0$
Bijgevolg is er voor elke $x$ element van $(1,2,3,4,5,6,7,8,9)$ een oplossing met $y=z=9$
De getallen waarvoor het gevraagde geldt zijn dus: $(199, 299, 399, 499, 599, 699, 799, 899, 999)$
$\square$