BrMO 1 1993

Vraag 1 Opgelost!

Vind een natuurlijk getal $n$ van zes cijfers met de volgende eigenschappen:
(i) $n$ is een volkomen kwadraat,
(ii) het getal gevormd door de laatste drie cijfers van $n$ is precies 1 meer dan het getal gevormd door de eerste drie cijfers van $n$. (bijvoorbeeld $n=123124$, maar dit is geen volkomen kwadraat)
Toon ook je methode.

Vraag 2

Een vierkant stuk toast $ABCD$ met zijde 1 en midden $O$ wordt doormidden gesneden in 2 identieke stukken $ABC$ en $CDA$. Als men de driehoek $ABC$ zou moeten in twee snijden zodat men twee gelijke stukken verkrijgt, zou men geneigd zijn om langs de symmetrie-as $BO$ te snijden. Er zijn echter andere manieren om dit te doen. Vind, de lengte en de plaats van de kortste snede die de driehoek $ABC$ in twee stukken verdeelt met gelijke oppervlaktes.

Vraag 3

Voor ieder natuurlijk getal $c$ wordt de rij van gehele getallen $u_n$ gedefinieerd door
$$\\u_1=1\\u_2=c\\u_n=(2n+1)u_{n-1}-(n^2-1)u_{n-2}\ \ (n\geq3)$$
Voor welke waarden van $c$ heeft deze rij de eigenschap dat $u_i|u_j$ van zodra $i\leq j$?.
(Merk op: $x|y$ betekent: "x is een deler van y")

Vraag 4

Twee cirkels raken inwendig in $M$. Een rechte raakt de binnenste cirkel in het punt $P$ en snijdt de buitenste cirkel in de punten $Q$ en $R$. Bewijs dat $\angle QMP=\angle RMP$.

Vraag 5 Opgelost!

Zij $x,y,z$ drie positieve reële getallen zodat
$$\frac13\leq xy+yz+zx\leq3.$$
Bepaal de grootst mogelijke en kleinst mogelijke waarde van (i) $xyz$, en (ii) $x+y+z$.