simpele ongelijkheid

Tip voor Gert-Jan: je antwoorden zouden er beter uitzien als je wat gestructureerder werkte. Dat kan veel punten schelen als een jury je antwoorden moet lezen.

Ik kan bijvoorbeeld nergens in je antwoord de ondergrens voor $xyz$ opmaken (je moet het toch minstens vermelden als je het triviaal vindt). Het argument waarom $x+y+z\le 3$ is bovendien omgedraaid, dat toont zoals Christophe zegt enkel $x+y+z\ge1$ aan. De ongelijkheid $x+y+z\le3$ is trouwens verkeerd.

Een voorbeeld van een gestructureerde (en ook veel korter genoteerde) oplossing:

Wegens AM-GM hebben we
$0< xyz\le \left(\frac{xy+yz+zx}{3}\right)^{3/2}\le 1$
en wegens orde-ongelijkheid
$\infty> x+y+z = \sqrt{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx} \ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}\ge 1$

Voor onderaan rechts gelijkheid te evrkrijgen, moet $x=y=z=\frac 13$
Vul nu $x=y=\frac1n,z=n$ in. Voor $n=1$ krijgen gelijkheid rechts in de eerste ongelijkheid en als we $n$ heel groot laten worden naderen we in beide naar wat er links staat. De grenzen zijn dus optimaal.