volkomen kwadraten
Opgave - BrMO 1 1993 vraag 1
Vind een natuurlijk getal $n$ van zes cijfers met de volgende eigenschappen:
(i) $n$ is een volkomen kwadraat,
(ii) het getal gevormd door de laatste drie cijfers van $n$ is precies 1 meer dan het getal gevormd door de eerste drie cijfers van $n$. (bijvoorbeeld $n=123124$, maar dit is geen volkomen kwadraat)
Toon ook je methode.
- login om te reageren
Oplossing
$n=p^2=1001q+1$, met $p,q\in\mathbb N$, dus het volstaat de vergelijking $p^2\equiv1\pmod{1001}$ op te lossen. Via de Chinese reststelling vinden we 8 oplossingen modulo 1001, maar daarvan moeten we $p=1,p=155,p=274$ en $p=1000$ verwerpen omdat deze niet resulteren in een getal van zes cijfers. De overblijvende geven ons $p\in\{428,573,727,846\}$ met de respectievelijke oplossingen $n=183184,328329,528529,715716$.