NWO 2014

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle drietallen $(a, b, c)$ waarbij $a, b$ en $c$ positieve gehele getallen zijn met $a \leq b \leq c$ en
$$abc = 2(a + b + c)$$

Vraag 2

Op de zijden van driehoek $ABC$ zijn gelijkbenige rechthoekige
driehoeken $AUB$, $CVB$ en $AWC$ geplaatst, waarbij de hoeken
bij $U$, $V$ en $W$ recht zijn. Driehoek $AUB$ ligt geheel binnen
driehoek $ABC$ en driehoeken $CVB$ en $AWC$ liggen geheel
buiten driehoek $ABC$.
Bewijs dat vierhoek $UVCW$ een parallellogram is.

Vraag 3 Opgelost!

Bij een volleybaltoernooi speelt elk team precies één keer tegen elk ander team. Elke wedstrijd
heeft een winnaar, die 1 punt krijgt. De verliezer krijgt 0 punten. Gelijkspel kan niet voorkomen. In de eindranglijst blijkt er één team het laagste aantal punten te hebben (dus er is geen gedeelde laatste plaats). Verder blijkt elk team, behalve het team met de minste punten, precies één
wedstrijd verloren te hebben van een team dat uiteindelijk minder punten heeft gehaald.
a) Bewijs dat het aantal teams niet gelijk kan zijn aan 6.
b) Laat aan de hand van een voorbeeld zien dat het aantal teams wel gelijk kan zijn aan 7.

Vraag 4 Opgelost!

Een viertal $(p, a, b, c)$ van positieve gehele getallen heet een prachtig viertal als
• $p$ een oneven priemgetal is,
• $a, b$ en $c$ verschillend zijn en
• $ab + 1, bc + 1$ en $ ca + 1 $deelbaar zijn door $p$.

a) Bewijs dat voor elk prachtig viertal $(p, a, b, c)$ geldt dat $p + 2 \leq \frac{a+b+c}{3}$

b) Bepaal alle getallen $p$ waarvoor er een prachtig viertal $(p, a, b, c)$ bestaat met$ p + 2 =\frac{a+b+c}{3}$

Vraag 5

We bekijken manieren om een vierkant van 1 bij 1 op te delen in rechthoeken (waarvan de zijden evenwijdig zijn aan die van het vierkant). De rechthoeken in een opdeling moeten allemaal dezelfde omtrek hebben, maar hoeven niet dezelfde vorm te hebben.

a) Is het mogelijk om het vierkant op te delen in 20 rechthoeken die elk een omtrek van 2,5
hebben?
b) Is het mogelijk om het vierkant op te delen in 30 rechthoeken die elk een omtrek van 2
hebben?