Volleybal doen ze daar graag
Opgave - NWO 2014 vraag 3
Bij een volleybaltoernooi speelt elk team precies één keer tegen elk ander team. Elke wedstrijd
heeft een winnaar, die 1 punt krijgt. De verliezer krijgt 0 punten. Gelijkspel kan niet voorkomen. In de eindranglijst blijkt er één team het laagste aantal punten te hebben (dus er is geen gedeelde laatste plaats). Verder blijkt elk team, behalve het team met de minste punten, precies één
wedstrijd verloren te hebben van een team dat uiteindelijk minder punten heeft gehaald.
a) Bewijs dat het aantal teams niet gelijk kan zijn aan 6.
b) Laat aan de hand van een voorbeeld zien dat het aantal teams wel gelijk kan zijn aan 7.
- login om te reageren
Oplossing
vraag A)
Noem de teams $A,B,C,D,E,F$ met $A$ het minste overwinningen, $B$ het tweede minst etc.
Merk op dat het aantal overwinningen dat $A$ behaalt, $1$ is. $A$ kan niet $0$ zijn, want gegeven is dat elk team precies een wedstrijd verloren is van een team met minder punten (Ik verwijs naar dit gegeven met $(1)$), en aangezien niemand evenveel punten als $A$ heeft, heeft $B$ meer punten dan $A$ en minder of een gelijk aantal punten aan de anderen. Hoe dan ook moet $B$ verloren zijn van $A$.
Verder kan $A$ niet gelijk zijn aan $2$. Het aantal gespeelde spellen is $15$, en als $A =2$, dan is $B \geq 3$ en $C,D,E,F \geq 3$. Merk op dat die samen al $15$ zijn minstens, dus klopt dit niet.
$=> A=1$
Vervolgens bewijzen we dat $B=2$. Als $B=3$, dan $C,D,E,F \geq 3$, maar aangezien er $15$ gespeelde spellen zijn, zijn er in deze situatie al $16$ gespeeld, contradictie.
$=> B=2$
Ook is gekend dat $A>B$ met $>$ staat voor [] wint van [].
Vervolgens bewijzen we dat $C = 3$. Als $C=2$, dan was $B=C$ en dan geldt uit $(1)$ dat $A>C$, maar $A=1$ en $A>B$, contradictie.
Hieruitvolgt dat $D,E,F = 3$, want er zijn al $6$ gespeelde spellen, dus moeten er nog $9$ gespeeld worden, en uit $C \leq D \leq E \leq F$ geldt dat $C=D=E=F=3$.
Uit $(1)$, geldt dat $C>B, D>B, E>B, F>B$ want $A=1$ en verliest enkel van $B$. Maar nu wint $B$ maar $1$ spel i.p.v. $2$. Contradictie.
Vraag B)
$A=1, B=2, C=3, D=3, E=F=G = 4$
$A$ wint van $B$ en verliest verder alles (1 win, 6 L)
$B$ wint van $C$ en $D$ en verliest verder alles (2 win, 5 L)
$C$ wint van $A$, $E$ en $F$ en verliest alles (3 win, 4L)
$D$ wint van $A$, $G$ en $C$ en verliest alles (3 win, 4L)
$E$ wint van $A,B,D,F$ en verliest alles (4w,3L)
$F$ wint van $A,B,D,G$ en verliest alles (4w,3L)
$G$ wint van $A,B,C,E$ en verliest alles (4w,3L)