prachtige viertallen
Opgave - NWO 2014 vraag 4
Een viertal $(p, a, b, c)$ van positieve gehele getallen heet een prachtig viertal als
• $p$ een oneven priemgetal is,
• $a, b$ en $c$ verschillend zijn en
• $ab + 1, bc + 1$ en $ ca + 1 $deelbaar zijn door $p$.
a) Bewijs dat voor elk prachtig viertal $(p, a, b, c)$ geldt dat $p + 2 \leq \frac{a+b+c}{3}$
b) Bepaal alle getallen $p$ waarvoor er een prachtig viertal $(p, a, b, c)$ bestaat met$ p + 2 =\frac{a+b+c}{3}$
- login om te reageren
Oplossing
WLOG: $a < b < c$
Uit $ab \equiv -1 $ $ mod$ $p$ besluiten we dat b min de inverse is van a mod p, analoog besluiten we dit voor c. De inverse bestaat zeker omdat p een priemgetal is en a geen veelvoud van p kan zijn. De inverse is tevens uniek dus geldt: $b \equiv $ $c$ $ mod$ $ p$.
Analoog besluiten we dat $a \equiv$ $c$ $ mod $ $p$. Dus $a \equiv b \equiv c$ $ mod$ $ p$.
Bijgevolg $p|a^2+1$.
Nu kunnen we zeggen dat $a \ge\sqrt{p-1}$
Omdat b>a en $a \equiv$ $ b$ $ mod $ $p$ is $b\geq a+p\ge p+\sqrt{p-1}$
Omdat c>b en $b \equiv$ $ c $ $mod$ $ p$ is $c\geq b+p\ge 2p+\sqrt{p-1}$
Optellen levert dat $3 (p+2) \le 3 (p+ \sqrt{p-1} ) \le a+b+c$ als $p\geq 5$, dus voor alle oneven priemgetallen $p$ verschillend van 3.
We controleren het geval $p = 3$:
Er zijn twee gevallen voor $a^2$:
$\equiv 1^2 \equiv $ $1 $ $mod $ $3$
$\equiv 2^2 \equiv $ $1$ $ mod $ $3$
Maar daar zou 2 =3-1 moeten staan.
Dus voor $p=3$ zijn er geen oplossingen.
b) Enkel indien $p=5$ en $(a,b,c)=(2,12,7)$ en permutaties hebben we gelijkheid.