product=2som

Opgave - NWO 2014 vraag 1

Bepaal alle drietallen $(a, b, c)$ waarbij $a, b$ en $c$ positieve gehele getallen zijn met $a \leq b \leq c$ en
$$abc = 2(a + b + c)$$

Oplossing

We beschouwen twee gevallen:

Zij $a=b=c$, dan moet gelden:
$a^3 = 2(3a)$
$a^3 = 6a$
$a(a²^2-6) = 0$
$a^2-6 = 0$ levert geen natuurlijk getal, $(0,0,0)$ is een oplossing.

We bekijken nu het geval waarbij $a,b,c$ niet allemaal gelijk zijn. Dit komt overeen met $a \neq c$, gezien $a \le b \le c$. Nu zal $0 \le a abc$
$\Rightarrow 6 > ab$ (want $c$ is positief en niet nul)
De mogelijkheden voor $ab$ zijn dus:

-$ab=0$ met $a=0$. Nu zal $0=2(b+c) \ge a=0$ met gelijkheid asa $b=c=0$, dus geen nieuwe oplossingen.

- $ab=1$ met $a=1$ en $b=1$
$\Rightarrow c = 2(2+c)$
$c = -4$ => geen opl

- $ab=2$ met $a=1, b=2$
$\Rightarrow 2c = 2(3+c)$
$\Rightarrow 0=6$ => geen opl

- $ab=3$ met $a=1, b=3$
We vinden de oplossing $(a,b,c) = (1,3,8)$

- $ab=4$ met $a=1, b=4$ of $a=2,b=2$
We vinden twee oplossingen: $(a,b,c) = (1,4,5)$ en $(a,b,c) = (2,2,4)$

- $ab=5$ met $a=1, b=5$
$5c = 2(6+c)$
$c=4$ (geen opl want $b\geq c$)

Alles bij elkaar is $(a,b,c)$ dus een element van $\{(0,0,0), (1,3,8),(1,4,5),(2,2,4)\}$.