NWO 2011

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal alle drietallen positieve gehele getallen $(a, b, n)$ waarvoor geldt dat
$a! + b! = 2^n$

Vraag 2 Opgelost!

Gegeven is een driehoek $ABC$. Op zijde $BC$ liggen punten $P$ en $Q$ zodat $|BP| = |P Q| =
|QC| =\frac13|BC|$. Op zijde CA liggen punten R en S z´o dat $|CR| = |RS| = |SA| =\frac13
|CA|$
Op zijde $AB$ liggen punten $T$ en $U$ zodat $|AT| = |T U| = |UB| =\frac13|AB|$. Gegeven is dat
$P, Q, R, S, T$ en $U$ op een cirkel liggen.
Bewijs dat $ABC$ een gelijkzijdige driehoek is.

Vraag 3

Bij een toernooi met zes teams speelt ieder team eenmaal tegen elk ander team. Als een team
een wedstrijd wint, krijgt het daarvoor 3 punten en krijgt de verliezer 0 punten. Als er gelijk
wordt gespeeld, krijgen beide teams 1 punt.
Kunnen de eindscores van de teams precies zes opeenvolgende getallen $a, a + 1, . . . , a + 5$ zijn?
Zo ja, bepaal alle waarden van a waarvoor dat kan.

Vraag 4 Opgelost!

Bepaal alle paren positieve reële getallen $(a, b)$ met $a > b$ waarvoor geldt:
$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}=134$ en $a\sqrt{b}+b\sqrt{a}=126$

Vraag 5

De telduivel heeft alle gehele getallen gekleurd: elk getal is nu of zwart of wit. Het getal $1$ is
wit. Voor elk tweetal witte getallen $a$ en $b$ (de getallen $a$ en $b$ mogen hetzelfde zijn) hebben
$a − b$ en $a + b$ verschillende kleuren.
Bewijs dat het getal $2011$ wit is.