Gelijkzijdige driehoek
Opgave - NWO 2011 vraag 2
Gegeven is een driehoek $ABC$. Op zijde $BC$ liggen punten $P$ en $Q$ zodat $|BP| = |P Q| =
|QC| =\frac13|BC|$. Op zijde CA liggen punten R en S z´o dat $|CR| = |RS| = |SA| =\frac13
|CA|$
Op zijde $AB$ liggen punten $T$ en $U$ zodat $|AT| = |T U| = |UB| =\frac13|AB|$. Gegeven is dat
$P, Q, R, S, T$ en $U$ op een cirkel liggen.
Bewijs dat $ABC$ een gelijkzijdige driehoek is.
- login om te reageren
Oplossing
Teken vooreerst de lijnstukken [UP], [QT], [ST] en [RU]. Noem $\Gamma$ de cirkel waarop de punten P, Q, R, S, T en U liggen. Volgens het gegeven zijn U, P, Q en T cyclisch, waardoor het een koordenvierhoek is. We gaan eerst aantonen dat $\Delta$ BUP $\sim$ $\Delta$ ABC. Dit volgt ten eerste omdat doordat beide driehoeken dezelfde hoek B hebben. Daarnaast is er gegeven dat |BP|=1/3|BC| en ook dat |UB|=1/3|AB|.Met de gelijkvormigheidskenmerken ZHZ kunnen we wél degelijk tot de conclusie komen dat $\Delta$ BUP $\sim$ $\Delta$ ABC. Hierdoor zullen zowel [UP] als [QT] evenwijdig zijn aan |AC|, waardoor je kunt concluderen dat $\hat{Q}$ =$\hat{C}$. Integendeel, het zijn overeenkomstige hoeken. En aangezien U, P, Q en T cyclisch zijn moet $\hat{Q}$=180-(180°-$\hat{U}$). Maar $\hat{U}$ in $\Delta$ BUP is gelijk $\hat {A}$ in $\Delta$ ABC omdat ze gelijkvormig zijn. Dus kunnen we tot de conclusie komen dat $\hat{C}$=$\hat{A}$. Je kunt deze stappen nog eens herhalen maar dan met $\Delta$ SAT en de lijnstukken [ST] en [RU], waarmee je tot de conclusie komt dat $\hat{B}$=$\hat{C}$. En aangezien dat $\hat{A}$=$\hat{B}$=$\hat{C}$ volgt het dat $\Delta$ ABC een gelijkzijdige driehoek is.