som van faculteiten

Stel WLOG a≤b

$a! + b! = a! + \frac{a! * b!}{a!} = a! * (\frac{b!}{a!}+1) = 2^n$

Merk op dat dat $a!$ en $\frac{b!}{a!}+1$ positieve gehele getallen zijn. Aangezien $2^n$ in zijn priemfactorisatien enkel 2's heeft moet elke gehele factorisatie bestaan uit getallen met enkel priemfactor 2. Dus $a!$ en $\frac{b!}{a!}+1$ moeten machten van van 2 zijn. Voor alle a≥3 zit er in $a!$ een priemfactor 3 en is $a!$ dus geen macht van 2. Dit sluit alle a ≥ 3 uit voor oplossingen. Voor a = 1 en voor a = 2 is $a!$ een macht van 2.
$\frac{b!}{a!}+1$ moet even zijn. Dus moet $\frac{b!}{a!}$ oneven zijn.

Stel a = 1
$\frac{b!}{1!} = b!$ moet oneven zijn. Voor alle b ≥ 2 zit er een factor 2 in $b!$. Dit sluit alle b≥2 uit voor oplossingen. Voor b = 1 geldt $b! = 1! =1$ is oneven. $\frac{b!}{a!}+1 = \frac{1!}{1!}+1 = 2$ is een volkomen kwadraat. (1,1,1) is dus al een oplossing.

Stel a = 2
$\frac{b!}{2!} = \frac{b!}{2}$ moet oneven zijn. $b!$ kan dus niet meer dan 1 als macht van 2 in zijn priemfactorisatie hebben. Voor alle b≥4 is $b!$ deelbaar door 4 en kan $\frac{b!}{2!}$ niet oneven zijn. Dit sluit alle b≥4 uit voor oplossingen. Voor b = 2,3 is $\frac{b!}{2!}+1$ resp. gelijk aan 2,4. Dit geeft (2,2,2) en (2,3,3) als oplossingen.

Voor b≤a is (3,2,3) uiteraard ook nog een oplossing.

Conclusie: (1,1,1),(2,2,2),(3,2,3) en (2,3,3) zijn de enige mogelijke oplossingen.