NWO 2010

Vraag 1 Opgelost!

Gegeven is een driehoek $ABC$ in $A$ rechthoekig, met $\angle C = 60$◦
en $|AC| = 6$. Drie cirkels met middelpunten A, B en C raken elkaar (uitwendig) op de zijden
van deze driehoek.Bereken de oppervlakte van het vlakdeel dat deze drie cirkels insluiten.

Vraag 2

Een getal heet een reekssom als het geschreven kan worden als $m + (m + 1) + · · · + (n − 1) + n$,
voor positieve gehele getallen $m < n$. Zo is $18$ een reekssom, want $18 = 5 + 6 + 7$. Een getal
heet een tweemacht als het geschreven kan worden als $2^k$ voor een geheel getal $k> 0$.
(a) Laat zien dat geen enkel getal zowel een reekssom als een tweemacht is.
(b) Laat zien dat elk positief geheel getal een reekssom of een tweemacht is.

Vraag 3

Door een punt $O$ in het inwendige van een driehoek $XYZ$ gaan drie lijnen
die evenwijdig zijn aan de zijden van de driehoek. Zo ontstaan op deze
lijnen zes lijnstukken van $O$ tot de zijden.
Gegeven is dat de lengten $a, b, c, d, e$ en $f$ van deze lijnstukken positieve
gehele getallen zijn.
Bewijs dat het product $a · b · c · d · e · f$ het kwadraat van een geheel getal is

Vraag 4

(a) Bepaal alle paren $(x,y)$ van reële getallen met $0 < x < 1$ en $ 0 < y < 1 $waarvoor $x+3y$ en $3x+y$ beide geheel zijn.

(b) Bepaal alle gehele getallen $m\geq 2$ waarvoor geldt dat er precies $119$ paren $(x,y)$ zijn met $0 < x < 1$ en$ 0 < y < 1 $waarvoor $x+my$ en $mx+y$ beide geheel zijn.

Vraag 5 Opgelost!

Amber en Bram spelen met 2010 munten het volgende spel. Gedurende het spel zijn de munten
verdeeld over een aantal stapels met elk minstens 1 munt. Een zet bestaat eruit een of meer
stapels te kiezen en elk van die stapels te splitsen in twee kleinere stapels. (Een stapel met
maar 1 munt kan dus niet gekozen worden.) Het spel begint met ´e´en stapel van 2010 munten.
Om beurten doen Amber en Bram een zet, waarbij Amber begint. Winnaar is degene die de
eindsituatie van 2010 stapeltjes van 1 munt bereikt.
Bewijs dat Amber het spel altijd kan winnen, welke tegenzetten Bram ook doet.