Muntjesspel
Opgave - NWO 2010 vraag 5
Amber en Bram spelen met 2010 munten het volgende spel. Gedurende het spel zijn de munten
verdeeld over een aantal stapels met elk minstens 1 munt. Een zet bestaat eruit een of meer
stapels te kiezen en elk van die stapels te splitsen in twee kleinere stapels. (Een stapel met
maar 1 munt kan dus niet gekozen worden.) Het spel begint met ´e´en stapel van 2010 munten.
Om beurten doen Amber en Bram een zet, waarbij Amber begint. Winnaar is degene die de
eindsituatie van 2010 stapeltjes van 1 munt bereikt.
Bewijs dat Amber het spel altijd kan winnen, welke tegenzetten Bram ook doet.
- login om te reageren
Oplossing
De strategie is dat Amber altijd 1 munt afneemt van alle stapels met een even aantal munten, waardoor elke stapel van met een even aantal munten 2 stapels met een oneven aantal wordt.
Dit gaat uiteraard enkel als er minstens een stapel met een even aantal munten is na Brams beurt. Gelukkig is dat altijd het geval aangezien Bram aan het begin van zijn beurt enkel oneven stapels heeft, die niet gesplitst kunnen worden in 2 oneven stapels, waardoor er na zijn beurt altijd een even stapel moet zijn. Aangezien Amber begint met een even stapel kan ze deze tactiek vol houden.
In de eindtoestand zijn alle stapels oneven, maar Bram heeft na zijn beurt altijd een even stapel. Dus kan Bram nooit winnen. Het spel moet altijd eindigen omdat het aantal stapels strikt stijgt en het spel eindigt als er 2010 stapels zijn. Daardoor moet er iemand winnen en kan dat dus alleen Amber zijn.