NWO 2007

Vraag 1 Opgelost!

Zij $ABC$ een gelijkzijdige driehoek met zijden van lengte $1$. Kies $P$ en $Q$ op het verlengde van lijnstuk $AB$ zodat $PA = AB = BQ = 1$. Kies analoog voor de zijden $BC$ en $CA$ punten $R$, $S$, $T$ en $U$ zodat $RB = BC = CS = 1$ en $TC = CA = AU = 1$. Dan heeft de zeshoek $PURQTS$ een omgeschreven cirkel. Wat is de straal van die cirkel?

Vraag 2 Opgelost!

Is het mogelijk om de verzameling $\{1,2,\,\cdots,32,33\}$ te verdelen in elf drietallen zodanig dat voor elk drietal geldt dat één van de drie getallen gelijk is aan de som van de andere twee?

Vraag 3 Opgelost!

Bestaat er een getal van de vorm $444\cdots4443$ dat deelbaar is door $13$?

Vraag 4 Opgelost!

Voor hoeveel natuurlijke getallen $n$ met $1 \leq n \leq 100$ geldt dat $n^n$ een volkomen kwadraat is?

Vraag 5

Zij $ABC$ een driehoek en zij $P$ een punt binnen de driehoek. Zijn $D$, $E$ en $F$ de middens van $AP$, $BP$ en $CP$. Zijn $R$, $S$ en $T$ de snijpunten van $AE$ en $BD$, $BF$ en $CE$, $CD$ en $AF$. Bewijs dat de oppervlakte van zeshoek $DRESFT$ onafhankelijk is van de positie van $P$ binnen de driehoek.