Straal omgeschreven cirkel
Opgave - NWO 2007 vraag 1
Zij $ABC$ een gelijkzijdige driehoek met zijden van lengte $1$. Kies $P$ en $Q$ op het verlengde van lijnstuk $AB$ zodat $PA = AB = BQ = 1$. Kies analoog voor de zijden $BC$ en $CA$ punten $R$, $S$, $T$ en $U$ zodat $RB = BC = CS = 1$ en $TC = CA = AU = 1$. Dan heeft de zeshoek $PURQTS$ een omgeschreven cirkel. Wat is de straal van die cirkel?
- login om te reageren
Oplossing
Noem M het middelpunt van de driehoek (wegens symmetrie is het ook het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de zeshoek) en L het voetpunt van de loodlijn van C (en M) op AB.
$|ML| = \frac{1}{2\sqrt{3}}$ (hoek A is 30° in rechthoekige driehoek AML en we kennen $|AL| = \frac{1}{2}$)
Nu geeft Pythagoras onmiddellijk: $|MP|^{2} = (\frac{1}{2\sqrt{3}})^{2} + (\frac{3}{2})^{2} = \frac{7}{3}$
Dankzij een aantal gelijkvormige driehoeken gaat de cirkel met straal $\sqrt{\frac{7}{3}}$ en middelpunt M ook door U, R, Q, T en S.