NWO 2006

Vraag 1 Opgelost!

Een palindroom is een woord dat je zowel van links naar rechts als van rechts naar links mag lezen, omdat je tweemaal hetzelfde bekomt (lepel, dood, meetsysteem, ...). Hoeveel (niet noodzakelijk bestaande) palindromen kun je maken kun je maken met de letters $a,b,c,d,e$, als elke letter hoogstens tweemaal mag voorkomen, en een palindroom uit minstens $3$ letters bestaat?

Vraag 2

In een scherphoekige driehoek $\triangle ABC$ zijn de lengtes van de hoogtelijnen resp $h_A,h_B,h_C$. Als $P$ een punt binnen de driehoek is, en als $d(P,BC)=\frac{h_A}{3}$ en $d(P,AC)=\frac{h_B}{4}$, druk dan $d(P,AB)$ uit in functie van $h_C$.

Vraag 3 Opgelost!

Merk op dat $1+2+\cdots+6=6+7+8$. Wat is de kleinste gehele $k>6$ waarvoor $\exists n\in\mathbb{N}$ met $1+2+\cdots+k= k+(k+1)+\cdots+n$?

Vraag 4

In $\triangle ABC$ heeft de ingeschreven cirkel $\Gamma$ als middelpunt $M$ en straal $r$.
De raaklijn aan $\Gamma$ evenwijdig aan $BC$ snijdt $AC$ en $AB$ in $D$ en $E$ respectievelijk.
De raaklijn aan $\Gamma$ evenwijdig aan $AC$ snijdt $AB$ en $BC$ in $F$ en $G$ respectievelijk.
De raaklijn aan $\Gamma$ evenwijdig aan $AB$ snijdt $BC$ en $AC$ in $H$ en $K$ respectievelijk.
Zij $r_A,r_B,r_C$ respectievelijk de stralen van de ingeschreven cirkels van $\triangle AED,\triangle FBG,\triangle KHC$. Bewijs dat $r_A+r_B+r_C=r$.

Vraag 5

Arne en Bart spelen op een $8\times8$ schaakbord volgend spel: beginnend met Arne kleuren ze om de beurt een nog niet gekleurd veld, Arne in het rood en Bart in het blauw. De winnaar is degene die als eerste een $2\times2$ vierkant helemaal in zijn eigen kleur kan kleuren. Bewijs dat Bart altijd kan voorkomen dat Arne wint.