palindromen

Opgave - NWO 2006 vraag 1

Een palindroom is een woord dat je zowel van links naar rechts als van rechts naar links mag lezen, omdat je tweemaal hetzelfde bekomt (lepel, dood, meetsysteem, ...). Hoeveel (niet noodzakelijk bestaande) palindromen kun je maken kun je maken met de letters $a,b,c,d,e$, als elke letter hoogstens tweemaal mag voorkomen, en een palindroom uit minstens $3$ letters bestaat?

Oplossing

3 - 10 letters: Altijd keuze voor de eerste letter en de tweede (die verschillend zijn), vanaf 5 letters derde keuze, vanaf 7 letters vierde keuze.

3 letters:
$5*4$
4 letters:
$5*4$
5 letters:
$5*4*3$
6 letters:
$5*4*3$
7 letters:
$5*4*3*2$
8 letters:
$5*4*3*2$
9:
$5*4*3*2*1$
10:
$5*4*3*2*1$
Bij getallen met een even aantal cijfers $2n$ hebben we dus $n!\binom{5}{n}$ manieren om $n$ verschillende getallen te nemen uit die $5$ cijfers en te rangschikken en dan te spiegelen voor de volgende $n$
Bij een oneven aantal van $2n-1$ hebben we dezelfde formule maar spiegelen we die $n^{de}$ letter niet.
--------------------------------------
$2*20 + 2*60 + 4*120 = 640$