NWO 2005

Vraag 1 Opgelost!

Hoeveel koppels getallen $(a,b)$ met $a < b$ kun je uit de verzameling $\{1,2,\ldots,2005\}$ kiezen met de eigenschap dat $a+b$ een vijfvoud is?

Vraag 2 Opgelost!

$P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8P_9P_{10}P_{11}P_{12}$ is een regelmatige twaalfhoek. Bewijs dat
$$|P_1P_2|^2+|P_1P_4|^2+|P_1P_6|^2+|P_1P_8|^2+|P_1P_{10}|^2+|P_1 P_{12}|^2=|P_1P_3|^2+|P_1P_5|^2+|P_1P_7|^2+|P_1P_9|^2+ |P_1P_{11}|^2.$$

Vraag 3 Opgelost!

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ zijn vijf verschillende reële getallen. Het aantal verschillende waarden dat de som $a_i+a_j$ kan aannemen (met $1\leq i < j\leq5$) noemen we $m$. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van $m$.

Vraag 4 Opgelost!

$ABCD$ is een trapezium, $AB$ is evenwijdig met $CD$ en $|AB|>|CD|$. De diagonalen $AC$ en $BD$ snijden elkaar in het punt $S$. Het verlengde van $AD$ snijdt het verlengde van $BC$ in het punt $T$. Bewijs dat de lijn door $S$ en $T$ door de middens van de zijden $AB$ en $CD$ gaat.

Vraag 5 Opgelost!

Bij het flipflopspel heb je een schaakbord met op elk van de 64 velden een muntstuk met zijde "kop" of "munt" naar boven. Bij elke beurt kies je één veld en draai je de 15 munten om die in de kolom van het gekozen veld liggen en de munten die in de rij van het gekozen veld liggen. Begonnen wordt met een willekeurige situatie van munten op het schaakbord met kop of munt naar boven. Bewijs dat het altijd mogelijk is om met geschikt gekozen beurten te komen tot een schaakbord waarop alle 64 munten met "kop" naar boven liggen.
Hierbij ingesloten een voorbeeld van een beurt met F3 als gekozen veld.