Home › Archief › Nationale en Regionale Olympiades › Nederland › NWO › 2005 › vijf getallen

vijf getallen

Tags:

Opgave - NWO 2005 vraag 3

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ zijn vijf verschillende reële getallen. Het aantal verschillende waarden dat de som $a_i+a_j$ kan aannemen (met $1\leq i<j\leq5$) noemen we $m$. Bepaal de kleinst mogelijke waarde van $m$.

Oplossing

Ingediend door Juan

Veronderstel $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$. We zien $a_1+a_2<a_1+a_3<a_1+a_4<a_1+a_5<a_2+a_5<a_3+a_5<a_4+a_5$. $7$ vormt een ondergrens voor dit minimum; $10$ is het maximale aantal verschillende sommen. Stel $a_2+a_3=a_1+a_4$; $a_2+a_4=a_1+a_5$ en $a_3+a_4=a_2+a_5$, dan moeten we een voorbeeld vinden waar dit voldaan is. Beschouw $1,2,3,4,5$ en verifieer.