trapezium

Tags:

Opgave - NWO 2005 vraag 4

$ABCD$ is een trapezium, $AB$ is evenwijdig met $CD$ en $|AB|>|CD|$. De diagonalen $AC$ en $BD$ snijden elkaar in het punt $S$. Het verlengde van $AD$ snijdt het verlengde van $BC$ in het punt $T$. Bewijs dat de lijn door $S$ en $T$ door de middens van de zijden $AB$ en $CD$ gaat.

Oplossing

Noem $M$ het midden van $[AB]$ en $N$ van $[DC]$. Eerst bewijzen we dat $NS$ door $M$ gaat. Noem $M'$ het snijpunt tussen $NS$ en $AB$. Uit de gelijkvormigheid van resp. $\triangle DNS$ en $\triangle SM'B$ en $\triangle CNS$ en $\triangle SM'A$ volgt dat $\dfrac{[DN]}{[M'B]}=\dfrac{[NC]}{[M'A]}$, dus dat $M=M'$. De zwaartelijn $[MT]$ in $\triangle ABT$ gaat door $N$ (uit gelijkvormigheid van $\triangle ABT$ en $\triangle DCT$) dus zijn $T,N,S$ en $M$ collineair.

of Ceva kan hier ook helpen: $\frac{AD*TC}{DT*BC}=1$ wegens gelijkvormigheid dus hieruit volgt direct dat ST AB doormidden snijdt ($1=\frac{AM}{MB}\frac{AD*TC}{DT*BC}$).
Thales vervolledigt het verhaal ($1=\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}$ zodat ook $T,N,M$ op een rechte liggen)