twaalfhoek
Opgave - NWO 2005 vraag 2
$P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8P_9P_{10}P_{11}P_{12}$ is een regelmatige twaalfhoek. Bewijs dat
$$|P_1P_2|^2+|P_1P_4|^2+|P_1P_6|^2+|P_1P_8|^2+|P_1P_{10}|^2+|P_1 P_{12}|^2=|P_1P_3|^2+|P_1P_5|^2+|P_1P_7|^2+|P_1P_9|^2+ |P_1P_{11}|^2.$$
- login om te reageren
Oplossing
Alle punten liggen op een cirkel, is $\triangle P_1P_iP_7$ rechthoekig in $P_i$ $(i\in\{2,\ldots,6,8\ldots,12\})$. Pythagoras toepassen geeft dat
$
|P_1P_7|^2\\
=|P_1P_2|^2+|P_2P_7|^2=|P_1P_2|^2+|P_1P_6|^2\\
=|P_1P_3|^2+|P_3P_7|^2=|P_1P_3|^2+|P_1P_5|^2\\
=|P_1P_4|^2+|P_4P_7|^2=2|P_1P_4|^2\\
=|P_1P_{12}|^2+|P_{12}P_7|^2=|P_1P_{12}|^2+|P_1P_8|^2\\
=|P_1P_{11}|^2+|P_{11}P_7|^2=|P_1P_{11}|^2+|P_1P_9|^2\\
=|P_1P_{10}|^2+|P_{10}P_7|^2=2|P_1P_{10}|^2$
zodat door substitutie het gevraagde bewezen wordt.