NWO 2004

Vraag 1 Opgelost!

Bepaal het aantal paren van positieve gehele getallen $(a,b)$ met $a\leq b$ waarvoor het kleinste gemeen veelvoud van $a$ en $b$ 2004 is.

Vraag 2 Opgelost!

Twee cirkels $A$ en $B$, beide met straal 1, raken elkaar uitwendig. Vier cirkels $P,Q,R$ en $S$, alle vier met dezelfde straal $r$, liggen zo dat $P$ uitwendig raakt aan $A,B,Q$ en $S$, $Q$ uitwendig raakt aan $P,B$ en $R$, $R$ uitwendig raakt aan $A,B,Q$ en $S$, $S$ uitwendig raakt aan $P,A$ en $R$. Bereken de lengte van $r$.

Vraag 3

Begin met een stapel van 100 kaarten. Herhaal nu het volgende: kies een stapel van tenminste 2 kaarten en splits die op in twee kleinere stapeltjes (van elk minstens 1 kaart). Ga hiermee door tot er tenslotte honderd stapeltjes van elk 1 kaart zijn. Iedere
keer als je een stapel opsplitst in twee stapeltjes krijg je een aantal punten dat gelijk is aan het product van de aantallen kaarten in de twee nieuwe stapeltjes. Wat is het maximale aantal punten dat je in totaal kunt halen?

Vraag 4

Twee cirkels $C_1$ en $C_2$ raken elkaar uitwendig in een punt $P$. Op $C_1$ ligt een punt $Q$ zodanig dat de raaklijn in $Q$ aan $C_1$ de cirkel $C_2$ snijdt in de punten $A$ en $B$. De lijn $QP$ snijdt $C_2$ nog in punt $C$. Bewijs dat driehoek $ABC$ gelijkbenig is.

Vraag 5 Opgelost!

Een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden $a$ en $b$ en schuine zijde $c$ heeft de volgende eigenschappen:
(i) $a=p^m$ en $b=q^n$ met $p$ en $q$ priemgetallen en $m$ en $n$ positieve gehele getallen,
(ii) $c=2k+1$ met $k$ een positief geheel getal.
Bepaal alle mogelijke waarden van $c$ en de daarbij horende waarden van $a$ en $b$.