rechthoekige driehoek

Uit de stelling van Pythagoras volgt dus:
$a^2+b^2=c^2$, of nog $(p^m)^2 + (q^n)^2=(2k +1)^2$.
Merk op dat het rechterlid oneven is, dit wordt enkel en alleen bekomen als één van de priemgetallen even is en de andere oneven. Laat p die even priemgetal zijn, dus 2.
Invullen en herschrijven:
$(2^m)^2 + (q^n)^2=(2k +1)^2$
$(q^n)^2=(2k +1)^2-(2^m)^2$
$q^{2n}=(2k +1-2^m)(2k +1+2^m)$.

Nu merken we dat de priemfactorisatie van het linkerlid, en dus ook van het rechterlid, enkel uit $q's$ bestaat. Er zijn dan twee mogelijkheden:
1) beide factoren van het rechterlid is deelbaar door q
2) de grootste factor van het rechterlid is $q^{2n}$ en de kleinste $1$.

Mogelijkheid 1 kan niet, want als beide factoren deelbaar is door q, dan eveneens hun verschil, maar omdat hun verschil ($=-2*2^m$) een tweedemacht is en q een oneven priemgetal is, deelt q het verschil dus niet. Bijgevolg deelt q niet beide factoren van het rechterlid.

Het moet dan mogelijkheid 2 zijn. Hiermee bekomen we 2 vergelijkingen:
$2k +1-2^m=1$ en $2k +1+2^m=q^{2n}$
$2k=2^m$ en $2*2^m+1=q^{2n}$ en dus $2^{m+1}=(q^n+1)(q^n-1)$

Uit de tweede vergelijking lezen we af dat $(q^n+1)(q^n-1)$ een tweedemacht is. Er bestaat bovendien maar één koppel tweedemacht die met 2 verschillen, nl. $(2,4)$. Dus:
$q^n+1=4$ en $q^n-1=2$

$q^n$ is dus 3. De enige mogelijkheid hiervoor is dat $q=3$ en $n=1$. Dan is trouwens $2^{m+1}=8$ waardoor $m=2$ en ten slotte is $k=2$.

Dit geeft dus:
$(2^2)^2 + (3^1)^2=(2*2 +1)^2$, of nog $4^2 + 3^2=5^2$.
Conclusie: $c=5$ met rechthoekszijden $a=4$ en $b=3$.
------
opmerking: merk op dat a en b omgewisseld kunnen worden.